I Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Formulation of the Balance Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Reduction to Field Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Change of Coordinates and a Trace Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Companion Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Weak and Shock Fronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Survey of the Theory of BV Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 BV Solutions of Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Rapid Oscillations and the Stabilizing Effect of Companion
Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II Introduction to Continuum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Bodies andMotions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Balance Laws in Continuum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 The Balance Laws of Continuum Thermomechanics . . . . . . . . . . 31
2.4 Material Frame Indifference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Thermoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Thermoviscoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7 Incompressibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8 Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
III Hyperbolic Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Hyperbolicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Entropy-Entropy Flux Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Examples of Hyperbolic Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . 54
3.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
XVI Contents
IV The Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 The Cauchy Problem: Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Breakdown of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 The Cauchy Problem: Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Nonuniqueness of Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5 Entropy Admissibility Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6 The Vanishing Viscosity Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.7 Initial-Boundary-Value-Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
V Entropy and the Stability of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1 Convex Entropy and the Existence of Classical Solutions . . . . . . 88
5.2 The Role of Damping and Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Convex Entropy and the Stability of Classical Solutions . . . . . . . 98
5.4 Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.5 Contingent Entropies and Polyconvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
VI The L1 Theory for Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1 The Cauchy Problem: Perseverance and Demise
of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2 Admissible Weak Solutions and their Stability Properties . . . . . . 126
6.3 TheMethod of Vanishing Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4 Solutions as Trajectories of a Contraction Semigroup . . . . . . . . . 136
6.5 The Layering Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.6 Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.7 A Kinetic Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.8 Fine Structure of L∞ Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.9 Initial-Boundary-Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.10 The L1 Theory for Systems of Conservation Laws . . . . . . . . . . . . 166
6.11 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
VII Hyperbolic Systems of Balance Laws in One-Space Dimension . . . . 173
7.1 Balance Laws in One-Space Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.2 Hyperbolicity and Strict Hyperbolicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.3 Riemann Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.4 Entropy-Entropy Flux Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.5 Genuine Nonlinearity and Linear Degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.6 SimpleWaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.7 Explosion ofWeak Fronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.8 Breakdown of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.9 Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.10 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Contents XVII
VIII Admissible Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.1 Strong Shocks, Weak Shocks, and Shocks of Moderate Strength 205
8.2 The Hugoniot Locus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.3 The Lax Shock Admissibility Criterion;
Compressive, Overcompressive and Undercompressive Shocks . 213
8.4 The Liu Shock Admissibility Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.5 The Entropy Shock Admissibility Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.6 Viscous Shock Profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.7 Nonconservative Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
IX AdmissibleWave Fans and the Riemann Problem . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.1 Self-similar Solutions and the Riemann Problem . . . . . . . . . . . . . 239
9.2 Wave Fan Admissibility Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.3 Solution of the Riemann Problem viaWave Fan Curves . . . . . . . 243
9.4 Systems with Genuinely Nonlinear
or Linearly Degenerate Characteristic Families . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.5 General Strictly Hyperbolic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.6 Failure of Existence or Uniqueness;
Delta Shocks and Transitional Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.7 The Entropy Rate Admissibility Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.8 Viscous Wave Fans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.9 Interaction ofWave Fans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.10 Breakdown of Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.11 Self-similar Solutions for Multidimensional
Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.12 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
X Generalized Characteristics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.1 BV Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.2 Generalized Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
10.3 Extremal Backward Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
XI Genuinely Nonlinear Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . 301
11.1 Admissible BV Solutions and Generalized Characteristics . . . . . 302
11.2 The Spreading of Rarefaction Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.3 Regularity of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
11.4 Divides, Invariants and the Lax Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.5 Decay of Solutions Induced by Entropy Dissipation . . . . . . . . . . 314
11.6 Spreading of Characteristics and Development of N-Waves . . . . 316
11.7 Confinement of Characteristics
and Formation of Saw-toothed Profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
11.8 Comparison Theorems and L1 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
11.9 Genuinely Nonlinear Scalar Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
XVIII Contents
11.10 Balance Laws with Linear Excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
11.11 An Inhomogeneous Conservation Law. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
11.12 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
XII Genuinely Nonlinear Systems of Two Conservation Laws . . . . . . . . . 343
12.1 Notation and Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
12.2 Entropy-Entropy Flux Pairs and the Hodograph Transformation 345
12.3 Local Structure of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
12.4 Propagation of Riemann Invariants
Along Extremal Backward Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
12.5 Bounds on Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
12.6 Spreading of Rarefaction Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
12.7 Regularity of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
12.8 Initial Data in L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
12.9 Initial Data with Compact Support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
12.10 Periodic Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
12.11 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
XIII The Random Choice Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
13.1 The Construction Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
13.2 Compactness and Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
13.3 Wave Interactions, Approximate Conservation Laws
and Approximate Characteristics
in Genuinely Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
13.4 The Glimm Functional for Genuinely Nonlinear Systems . . . . . . 418
13.5 Bounds on the Total Variation
for Genuinely Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
13.6 Bounds on the Supremum for Genuinely Nonlinear Systems . . . 425
13.7 General Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
13.8 Wave Tracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
13.9 Inhomogeneous Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
13.10 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
XIV The Front Tracking Method and Standard Riemann Semigroups . . 443
14.1 Front Tracking for Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . 444
14.2 Front Tracking for Genuinely Nonlinear
Systems of Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
14.3 The Global Wave Pattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
14.4 Approximate Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
14.5 Bounds on the Total Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
14.6 Bounds on the Combined Strength of Pseudoshocks . . . . . . . . . . 458
14.7 Compactness and Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
14.8 Continuous Dependence on Initial Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
14.9 The Standard Riemann Semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
14.10 Uniqueness of Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
Contents XIX
14.11 Continuous Glimm Functionals,
Spreading of Rarefaction Waves,
and Structure of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
14.12 Stability of Strong Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
14.13 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
XV Construction of BV Solutions by the Vanishing Viscosity Method . . 483
15.1 TheMain Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
15.2 Road Map to the Proof of Theorem 15.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
15.3 The Effects of Diffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
15.4 Decomposition into Viscous Traveling Waves . . . . . . . . . . . . . . . . 490
15.5 TransversalWave Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
15.6 Interaction ofWaves of the Same Family. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
15.7 Energy Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
15.8 Stability Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
15.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
XVI Compensated Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
16.1 The Young Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
16.2 Compensated Compactness and the div-curl Lemma . . . . . . . . . . 513
16.3 Measure-Valued Solutions for Systems of Conservation Laws
and Compensated Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
16.4 Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
16.5 A Relaxation Scheme for Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . 519
16.6 Genuinely Nonlinear Systems of Two Conservation Laws . . . . . 523
16.7 The System of Isentropic Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
16.8 The System of Isentropic Gas Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
16.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
Author Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
Subject Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621