1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Basic Notions from Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Basic Notions from Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 The K0-group of a Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.4 Traces and the K0-group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 The Idempotent Conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.1 The Hattori-Stallings Rank on K0(kG) . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.2 Idempotents in CG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.3 Some First Examples of Groups
that Satisfy the Idempotent Conjecture . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Motivating Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 The Case of Abelian Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.1 The Geometric Rank Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.2 K-theory and the Geometric Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.3 The Connectedness of SpeckG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2 The Case of Finite Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.1 The Transfer Homomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.2 Subgroups of Finite Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.3 Swan’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Reduction to Positive Characteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1 The Rationality of the Canonical Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.1 Coefficient Fields of Positive Characteristic . . . . . . . . . . . 74
3.1.2 Lifting to the Field of Algebraic Numbers . . . . . . . . . . . . 77
3.1.3 The Kaplansky Positivity Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.1.4 Idempotent Matrices with Entries
in the Complex Group Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
XII Contents
3.2 The Support of the Hattori-Stallings Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.1 Iterates of the Frobenius Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.2 The Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.3 An Application: the Case of Solvable Groups. . . . . . . . . . 100
3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 A Homological Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1 Cyclic Homology of Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1.1 Basic Definitions and Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.1.2 The Relation to K-theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1.3 The Cyclic Homology of Group Algebras . . . . . . . . . . . . . 129
4.2 The Nilpotency of Connes’ Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2.1 Idempotent Conjectures and the Nilpotency of S . . . . . . 145
4.2.2 Closure Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5 Completions of CG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1 The Integrality of the Trace Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1.1 Formulation of the Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.1.2 The Case of an Abelian Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.1.3 The Case of a Free Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2 Induced Modules over NG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.2.1 The Center-Valued Trace on NG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.2.2 Matrices with Entries in NG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
A Tools from Commutative Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
A.1 Localization and Local Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
A.2 Integral Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
A.3 Noether Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A.4 The Krull Intersection Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
A.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
B Discrete Ring-Valued Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
B.1 Discrete Group-Valued Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
B.2 Idempotent-Valued Premeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
B.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
C Frobenius’ Density Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
C.1 The Density Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
C.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Contents XIII
D Homological Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
D.1 Complexes and Homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
D.1.1 Chain Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
D.1.2 Double Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
D.1.3 Tor and Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
D.2 Group Homology and Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
D.2.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
D.2.2 H2 and Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
D.2.3 Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
D.2.4 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
D.2.5 The (co-)homology of an Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
D.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
E Comparison of Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
E.1 Equivalence and Weak Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
E.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275