Part I A Guided Tour to Arbitrage Theory
1 The Story in a Nutshell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Arbitrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 An Easy Model of a Financial Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Pricing by No-Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Variations of the Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Martingale Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 The Fundamental Theorem of Asset Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Models of Financial Markets on Finite Probability Spaces . 11
2.1 Description of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 No-Arbitrage and the Fundamental Theorem of Asset Pricing . 16
2.3 Equivalence of Single-period with Multiperiod Arbitrage . . . . . . 22
2.4 Pricing by No-Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Change of Num´eraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Kramkov’s Optional Decomposition Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Utility Maximisation on Finite Probability Spaces . . . . . . . . . 33
3.1 The Complete Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 The Incomplete Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 The Binomial and the Trinomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Bachelier and Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1 Introduction to Continuous Time Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Models in Continuous Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Bachelier’s Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 The Black-Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
XIV Contents
5 The Kreps-Yan Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1 A General Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 No Free Lunch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6 The Dalang-Morton-Willinger Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1 Statement of the Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 The Predictable Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 The Selection Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.4 The Closedness of the Cone C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.5 Proof of the Dalang-Morton-Willinger Theorem for T = 1 . . . . 94
6.6 A Utility-based Proof of the DMW Theorem for T = 1 . . . . . . . 96
6.7 Proof of the Dalang-Morton-Willinger Theorem for T ≥ 1
by Induction on T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.8 Proof of the Closedness of K in the Case T ≥ 1 . . . . . . . . . . . . . 103
6.9 Proof of the Closedness of C in the Case T ≥ 1
under the (NA) Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.10 Proof of the Dalang-Morton-Willinger Theorem for T ≥ 1
using the Closedness of C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.11 Interpretation of the L∞-Bound in the DMW Theorem. . . . . . . 108
7 A Primer in Stochastic Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.1 The Set-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2 Introductory on Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.3 Strategies, Semi-martingales and Stochastic Integration . . . . . . 117
8 Arbitrage Theory in Continuous Time: an Overview . . . . . . . 129
8.1 Notation and Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2 The Crucial Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.3 Sigma-martingales and the Non-locally Bounded Case . . . . . . . . 140
Part II The Original Papers
9 A General Version of the Fundamental Theorem
of Asset Pricing (1994) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.2 Definitions and Preliminary Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.3 No Free Lunch with Vanishing Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.4 Proof of the Main Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.5 The Set of Representing Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.6 No Free Lunch with Bounded Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.7 Simple Integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.8 Appendix: Some Measure Theoretical Lemmas . . . . . . . . . . . . . . 202
Contents XV
10 A Simple Counter-Example to Several Problems
in the Theory of Asset Pricing (1998). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.1 Introduction and Known Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.2 Construction of the Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.3 Incomplete Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11 The No-Arbitrage Property
under a Change of Num´eraire (1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.2 Basic Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
11.3 Duality Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.4 Hedging and Change of Num´eraire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
12 The Existence of Absolutely Continuous
Local Martingale Measures (1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.2 The Predictable Radon-Nikod´ym Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . 235
12.3 The No-Arbitrage Property and Immediate Arbitrage . . . . . . . . 239
12.4 The Existence of an Absolutely Continuous
Local Martingale Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
13 The Banach Space of Workable Contingent Claims
in Arbitrage Theory (1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
13.2 Maximal Admissible Contingent Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
13.3 The Banach Space Generated
by Maximal Contingent Claims. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
13.4 Some Results on the Topology of G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
13.5 The Value of Maximal Admissible Contingent Claims
on the Set Me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
13.6 The Space G under a Num´eraire Change. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
13.7 The Closure of G∞ and Related Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
14 The Fundamental Theorem of Asset Pricing
for Unbounded Stochastic Processes (1998) . . . . . . . . . . . . . . . . 279
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
14.2 Sigma-martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
14.3 One-period Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
14.4 The General Rd-valued Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
14.5 Duality Results and Maximal Elements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
15 A Compactness Principle for Bounded Sequences
of Martingales with Applications (1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
15.2 Notations and Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
XVI Contents
15.3 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
15.4 A Substitute of Compactness
for Bounded Subsets of H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
15.4.1 Proof of Theorem 15.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
15.4.2 Proof of Theorem 15.C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
15.4.3 Proof of Theorem 15.B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
15.4.4 A proof of M. Yor’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
15.4.5 Proof of Theorem 15.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
15.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
Part III Bibliography
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359