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Convex Functions and Their Applications: A Contemporary Approach

Constantin Niculescu and Lars-Erik Persson
Publisher: 
Springer Verlag
Publication Date: 
2006
Number of Pages: 
255
Format: 
Hardcover
Series: 
CMS Books in Mathematics
Price: 
69.95
ISBN: 
0-387-24300-3
Category: 
Textbook
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Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .VII

List of symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XIII

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Convex Functions on Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Convex Functions at First Glance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Young’s Inequality and Its Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Smoothness Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 An Upper Estimate of Jensen’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 The Subdifferential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6 Integral Representation of Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.7 Conjugate Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.8 The Integral Form of Jensen’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.9 The Hermite–Hadamard Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.10 Convexity and Majorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.11 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2 Comparative Convexity on Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.1 Algebraic Versions of Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2 The Gamma and Beta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.3 Generalities on Multiplicatively Convex Functions . . . . . . . . . . . 77

2.4 Multiplicative Convexity of Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.5 An Estimate of the AM–GM Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.6 (M,N)-Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.7 Relative Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.8 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

XII Contents

3 Convex Functions on a Normed Linear Space . . . . . . . . . . . . . . 101

3.1 Convex Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.2 The Orthogonal Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.3 Hyperplanes and Separation Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.4 Convex Functions in Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.5 Continuity of Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.6 Positively Homogeneous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.7 The Subdifferential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.8 Differentiability of Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.9 Recognizing Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.10 The Convex Programming Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.11 Fine Properties of Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.12 Pr´ekopa–Leindler Type Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.13 Mazur–Ulam Spaces and Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.14 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4 Choquet’s Theory and Beyond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.1 Steffensen–Popoviciu Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.2 The Jensen–Steffensen Inequality and Majorization . . . . . . . . . . 184

4.3 Steffensen’s Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4.4 Choquet’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

A Background on Convex Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

A.1 The Hahn–Banach Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

A.2 Separation of Convex Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

A.3 The Krein–Milman Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

B Elementary Symmetric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

B.1 Newton’s Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

B.2 More Newton Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

B.3 A Result of H. F. Bohnenblust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

C The Variational Approach of PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

C.1 The Minimum of Convex Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

C.2 Preliminaries on Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

C.3 Applications to Elliptic Boundary-Value Problems . . . . . . . . . . . 228

C.4 The Galerkin Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

D Horn’s Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

D.1 Weyl’s Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

D.2 The Case n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

D.3 Majorization Inequalities and the Case n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . 238

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

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