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Dynamical Systems: Examples of Complex Behavior

Publisher: 
Springer Verlag
Number of Pages: 
189
Price: 
49.95
ISBN: 
3-540-22908-6
Date Received: 
Wednesday, October 5, 2005
Reviewable: 
Include In BLL Rating: 
Reviewer Email Address: 
Jürgen Jost
Series: 
Universitext
Publication Date: 
2005
Format: 
Paperback
Category: 
Textbook

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Stability of dynamical systems, bifurcations, and generic

properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Some general notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Autonomous systems of ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Examples: Bifurcation depending on a parameter λ R . . . . . 15

2.4 Chaos in differential and difference equations. The concept

of an attractor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Interaction, or the interplay between concentration or

reaction and diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Discrete and continuous systems. The Poincar´e return map . 41

2.7 Stability and bifurcations; generic properties . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.8 The Hopf bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.9 Lotka-Volterra equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.10 Stable, unstable, and center manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Discrete invariants of dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1 The topology of graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Floer homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Conley theory: examples and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4 Cohomological Conley index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5 Homotopical invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.6 Continuation properties of the Conley index . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.7 The discrete Conley index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4 Entropy and topological aspects of dynamical systems . . . . 99

4.1 The entropy of a process as an asymptotic quantity . . . . . . . . 99

4.2 Positive entropy and chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3 Symbolic dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5 Entropy and metric aspects of dynamical systems . . . . . . . . 111

5.1 The metric approach to topological entropy . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2 Complexity and intrinsic scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

VIII Table of Contents

6 Entropy and measure theoretic aspects of dynamical

systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.1 Probability spaces and measure preserving maps. . . . . . . . . . . . 119

6.2 Ergodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.3 Entropy and information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.4 Invariant measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.5 Stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.6 Stochastic bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7 Smooth dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.1 Lyapunov exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.2 Hyperbolicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.3 Information loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8 Cellular automata and Boolean networks as examples of

discrete dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.1 Cellular automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.2 Boolean networks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Publish Book: 
Modify Date: 
Wednesday, May 24, 2006

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