1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Stability of dynamical systems, bifurcations, and generic
properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Some general notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Autonomous systems of ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Examples: Bifurcation depending on a parameter λ ∈ R . . . . . 15
2.4 Chaos in differential and difference equations. The concept
of an attractor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Interaction, or the interplay between concentration or
reaction and diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Discrete and continuous systems. The Poincar´e return map . 41
2.7 Stability and bifurcations; generic properties . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8 The Hopf bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.9 Lotka-Volterra equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.10 Stable, unstable, and center manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Discrete invariants of dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1 The topology of graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Floer homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Conley theory: examples and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Cohomological Conley index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Homotopical invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6 Continuation properties of the Conley index . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.7 The discrete Conley index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4 Entropy and topological aspects of dynamical systems . . . . 99
4.1 The entropy of a process as an asymptotic quantity . . . . . . . . 99
4.2 Positive entropy and chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3 Symbolic dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5 Entropy and metric aspects of dynamical systems . . . . . . . . 111
5.1 The metric approach to topological entropy . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Complexity and intrinsic scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
VIII Table of Contents
6 Entropy and measure theoretic aspects of dynamical
systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.1 Probability spaces and measure preserving maps. . . . . . . . . . . . 119
6.2 Ergodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3 Entropy and information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4 Invariant measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.5 Stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.6 Stochastic bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7 Smooth dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1 Lyapunov exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.2 Hyperbolicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.3 Information loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8 Cellular automata and Boolean networks as examples of
discrete dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.1 Cellular automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.2 Boolean networks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185