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Frontiers in Numerical Analysis: Durham 2004

James F. Blowey and Alan W. Craig, editors
Publisher: 
Springer Verlag
Publication Date: 
2005
Number of Pages: 
262
Format: 
Paperback
Series: 
Universitext
Price: 
69.95
ISBN: 
3-540-23921-9
Category: 
Proceedings
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Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII

Wavelet Methods for Stationary PDEs and PDE-Constrained

Control Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Angela Kunoth

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Problem Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 An Abstract Operator Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Elliptic Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Saddle Point Problems Involving Boundary Conditions . . . . . . . 7

2.4 PDE-Constrained Control Problems: Distributed Control . . . . . 10

2.5 PDE-Constrained Control Problems: Dirichlet Boundary Control 12

3 Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Norm Equivalences and Riesz Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Representation of Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Multiscale Decomposition of Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Problems in Wavelet Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Elliptic Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Saddle Point Problems Involving Boundary Conditions . . . . . . . 35

4.3 Control Problems: Distributed Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Control Problems: Dirichlet Boundary Control . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Iterative Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1 Finite Systems on Uniform Grids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Adaptive Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

On Approximation in Meshless Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Jens Markus Melenk

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.2 The Notion of Optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2 Polynomial Reproducing Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.2 Approximation Properties of Systems Reproducing Polynomials 70

2.3 Construction of Shape Functions with the Moving Least Squares

Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.4 Bibliographical Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3 Approximation Properties of Radial Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . 87

3.1 Analysis of a Class of RBFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

VIII Contents

3.2 Bibliographical Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4 Partition of Unity Method and Generalized FEM . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.1 Approximation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2 Example: Polynomial Local Approximation Spaces . . . . . . . . . . . 95

5 Examples of Operator Adapted Approximation Spaces . . . . . . . . . . . . 96

5.1 A One-Dimensional Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2 Laplace’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3 Helmholtz Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.4 Linear Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.5 Further Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.6 Local Approximation Spaces Obtained Numerically . . . . . . . . . . 105

5.7 Bibliographical Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6 Augmenting Classical FEM Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.1 Singular Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.2 Crack Propagation Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.3 Further Examples: The Generalized FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.4 Bibliographical Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7 Enforcement of Essential Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.1 Conforming Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.2 Non-Conforming Methods: Lagrange Multiplier Methods and

Collocation Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.3 Non-Conforming Methods: Penalty Method . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.4 Non-Conforming Methods: Nitsche’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . 119

A Results from Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

B Properties of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

C Approximation with Adapted Function Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

C.1 The Theory of Bergman and Vekua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

C.2 Proof of Theorems 5.3, 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

C.3 Two-Dimensional Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Theory and Applications of Smoothed Particle Hydrodynamics143

Joseph J. Monaghan

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

2 Integral and Summation Interpolants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2.1 Errors in the Integral Interpolant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.2 Errors in the Summation Interpolant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

2.3 Errors when the Particles are Disordered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3 Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.1 The SPH Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.2 The SPH Acceleration Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.3 The Thermal Energy Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.4 Dispersion of Sound Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4 Tests of the SPH Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.1 The Force Law in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Contents IX

4.2 The Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.3 Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.4 SPH Results for Small Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5 Lagrangian SPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.1 The Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.2 Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.3 The Lagrangian with Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.4 Resolution Varying in Space and Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6 SPH Heat Conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.1 Derivatives from Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.2 Does the Entropy Increase? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.3 Discontinuous Thermal Conductivity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.4 Diffusion of Matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7 Viscosity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.1 A Simple Artificial Shock Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.2 Invariance Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.3 Effective Pressure and Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.4 The Sign of the Dissipation Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8 Applications to Shock and Rarefaction Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

8.1 Rarefaction Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

8.2 The Sod Shock Tube. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Implementation and Parallelization of Meshfree Methods . . . . . 195

Marc Alexander Schweitzer

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

2 Partition of Unity Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

2.1 Construction of a Partition of Unity Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

2.2 Variational Formulation and Boundary Conditions . . . . . . . . . . . 204

2.3 Galerkin Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

2.4 Solution of Resulting Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

3 Efficient Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

3.1 Cover Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

3.2 Numerical Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

3.3 Multilevel Solution of Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

4 Parallelization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

4.1 Parallel Data Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

4.2 Load Balancing with Space Filling Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

4.3 Parallel Cover Construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

4.4 Parallel Neighbour Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

4.5 Parallel Matrix Assembly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

4.6 Parallel Multilevel Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

4.7 Computational Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

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