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Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics

Constantine M. Dafermos
Publisher: 
Springer Verlag
Publication Date: 
2005
Number of Pages: 
626
Format: 
Hardcover
Series: 
Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 325
Price: 
129.00
ISBN: 
3-540-25452-8
Category: 
Monograph
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I Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Formulation of the Balance Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Reduction to Field Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Change of Coordinates and a Trace Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Companion Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Weak and Shock Fronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Survey of the Theory of BV Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8 BV Solutions of Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9 Rapid Oscillations and the Stabilizing Effect of Companion

Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.10 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II Introduction to Continuum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1 Bodies andMotions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Balance Laws in Continuum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 The Balance Laws of Continuum Thermomechanics . . . . . . . . . . 31

2.4 Material Frame Indifference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Thermoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Thermoviscoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.7 Incompressibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.8 Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III Hyperbolic Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1 Hyperbolicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Entropy-Entropy Flux Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Examples of Hyperbolic Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . 54

3.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

XVI Contents

IV The Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1 The Cauchy Problem: Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Breakdown of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 The Cauchy Problem: Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4 Nonuniqueness of Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5 Entropy Admissibility Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6 The Vanishing Viscosity Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7 Initial-Boundary-Value-Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

V Entropy and the Stability of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1 Convex Entropy and the Existence of Classical Solutions . . . . . . 88

5.2 The Role of Damping and Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3 Convex Entropy and the Stability of Classical Solutions . . . . . . . 98

5.4 Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.5 Contingent Entropies and Polyconvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

VI The L1 Theory for Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.1 The Cauchy Problem: Perseverance and Demise

of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.2 Admissible Weak Solutions and their Stability Properties . . . . . . 126

6.3 TheMethod of Vanishing Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.4 Solutions as Trajectories of a Contraction Semigroup . . . . . . . . . 136

6.5 The Layering Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.6 Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.7 A Kinetic Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.8 Fine Structure of L Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.9 Initial-Boundary-Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.10 The L1 Theory for Systems of Conservation Laws . . . . . . . . . . . . 166

6.11 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

VII Hyperbolic Systems of Balance Laws in One-Space Dimension . . . . 173

7.1 Balance Laws in One-Space Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.2 Hyperbolicity and Strict Hyperbolicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.3 Riemann Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.4 Entropy-Entropy Flux Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.5 Genuine Nonlinearity and Linear Degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.6 SimpleWaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.7 Explosion ofWeak Fronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

7.8 Breakdown of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

7.9 Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.10 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Contents XVII

VIII Admissible Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.1 Strong Shocks, Weak Shocks, and Shocks of Moderate Strength 205

8.2 The Hugoniot Locus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.3 The Lax Shock Admissibility Criterion;

Compressive, Overcompressive and Undercompressive Shocks . 213

8.4 The Liu Shock Admissibility Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

8.5 The Entropy Shock Admissibility Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

8.6 Viscous Shock Profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8.7 Nonconservative Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

IX AdmissibleWave Fans and the Riemann Problem . . . . . . . . . . . . . . . 239

9.1 Self-similar Solutions and the Riemann Problem . . . . . . . . . . . . . 239

9.2 Wave Fan Admissibility Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

9.3 Solution of the Riemann Problem viaWave Fan Curves . . . . . . . 243

9.4 Systems with Genuinely Nonlinear

or Linearly Degenerate Characteristic Families . . . . . . . . . . . . . . . 246

9.5 General Strictly Hyperbolic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9.6 Failure of Existence or Uniqueness;

Delta Shocks and Transitional Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

9.7 The Entropy Rate Admissibility Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

9.8 Viscous Wave Fans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

9.9 Interaction ofWave Fans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

9.10 Breakdown of Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

9.11 Self-similar Solutions for Multidimensional

Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

9.12 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

X Generalized Characteristics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

10.1 BV Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

10.2 Generalized Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

10.3 Extremal Backward Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

10.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

XI Genuinely Nonlinear Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . 301

11.1 Admissible BV Solutions and Generalized Characteristics . . . . . 302

11.2 The Spreading of Rarefaction Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

11.3 Regularity of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

11.4 Divides, Invariants and the Lax Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

11.5 Decay of Solutions Induced by Entropy Dissipation . . . . . . . . . . 314

11.6 Spreading of Characteristics and Development of N-Waves . . . . 316

11.7 Confinement of Characteristics

and Formation of Saw-toothed Profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

11.8 Comparison Theorems and L1 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

11.9 Genuinely Nonlinear Scalar Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

XVIII Contents

11.10 Balance Laws with Linear Excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

11.11 An Inhomogeneous Conservation Law. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

11.12 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

XII Genuinely Nonlinear Systems of Two Conservation Laws . . . . . . . . . 343

12.1 Notation and Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

12.2 Entropy-Entropy Flux Pairs and the Hodograph Transformation 345

12.3 Local Structure of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

12.4 Propagation of Riemann Invariants

Along Extremal Backward Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

12.5 Bounds on Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

12.6 Spreading of Rarefaction Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

12.7 Regularity of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

12.8 Initial Data in L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

12.9 Initial Data with Compact Support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

12.10 Periodic Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

12.11 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

XIII The Random Choice Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

13.1 The Construction Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

13.2 Compactness and Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

13.3 Wave Interactions, Approximate Conservation Laws

and Approximate Characteristics

in Genuinely Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

13.4 The Glimm Functional for Genuinely Nonlinear Systems . . . . . . 418

13.5 Bounds on the Total Variation

for Genuinely Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

13.6 Bounds on the Supremum for Genuinely Nonlinear Systems . . . 425

13.7 General Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

13.8 Wave Tracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

13.9 Inhomogeneous Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

13.10 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

XIV The Front Tracking Method and Standard Riemann Semigroups . . 443

14.1 Front Tracking for Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . 444

14.2 Front Tracking for Genuinely Nonlinear

Systems of Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

14.3 The Global Wave Pattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

14.4 Approximate Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

14.5 Bounds on the Total Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

14.6 Bounds on the Combined Strength of Pseudoshocks . . . . . . . . . . 458

14.7 Compactness and Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

14.8 Continuous Dependence on Initial Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

14.9 The Standard Riemann Semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

14.10 Uniqueness of Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

Contents XIX

14.11 Continuous Glimm Functionals,

Spreading of Rarefaction Waves,

and Structure of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

14.12 Stability of Strong Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

14.13 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

XV Construction of BV Solutions by the Vanishing Viscosity Method . . 483

15.1 TheMain Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

15.2 Road Map to the Proof of Theorem 15.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

15.3 The Effects of Diffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

15.4 Decomposition into Viscous Traveling Waves . . . . . . . . . . . . . . . . 490

15.5 TransversalWave Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

15.6 Interaction ofWaves of the Same Family. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

15.7 Energy Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

15.8 Stability Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

15.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

XVI Compensated Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

16.1 The Young Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

16.2 Compensated Compactness and the div-curl Lemma . . . . . . . . . . 513

16.3 Measure-Valued Solutions for Systems of Conservation Laws

and Compensated Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

16.4 Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

16.5 A Relaxation Scheme for Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . 519

16.6 Genuinely Nonlinear Systems of Two Conservation Laws . . . . . 523

16.7 The System of Isentropic Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

16.8 The System of Isentropic Gas Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

16.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

Author Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

Subject Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

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