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Idempotent Matrices Over Complex Group Algebras

Ioannis Emmanouil
Publisher: 
Springer Verlag
Publication Date: 
2006
Number of Pages: 
276
Format: 
Paperback
Series: 
Universitext
Price: 
44.95
ISBN: 
3-540-27990-3
Category: 
Monograph
We do not plan to review this book.

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Basic Notions from Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Basic Notions from Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 The K0-group of a Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.4 Traces and the K0-group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2 The Idempotent Conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.2.1 The Hattori-Stallings Rank on K0(kG) . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.2.2 Idempotents in CG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.2.3 Some First Examples of Groups

that Satisfy the Idempotent Conjecture . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 Motivating Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1 The Case of Abelian Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.1 The Geometric Rank Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.1.2 K-theory and the Geometric Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.1.3 The Connectedness of SpeckG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2 The Case of Finite Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.1 The Transfer Homomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.2 Subgroups of Finite Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.2.3 Swan’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Reduction to Positive Characteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1 The Rationality of the Canonical Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.1 Coefficient Fields of Positive Characteristic . . . . . . . . . . . 74

3.1.2 Lifting to the Field of Algebraic Numbers . . . . . . . . . . . . 77

3.1.3 The Kaplansky Positivity Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.1.4 Idempotent Matrices with Entries

in the Complex Group Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

XII Contents

3.2 The Support of the Hattori-Stallings Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2.1 Iterates of the Frobenius Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2.2 The Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2.3 An Application: the Case of Solvable Groups. . . . . . . . . . 100

3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 A Homological Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.1 Cyclic Homology of Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.1.1 Basic Definitions and Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.1.2 The Relation to K-theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.1.3 The Cyclic Homology of Group Algebras . . . . . . . . . . . . . 129

4.2 The Nilpotency of Connes’ Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.2.1 Idempotent Conjectures and the Nilpotency of S . . . . . . 145

4.2.2 Closure Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5 Completions of CG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.1 The Integrality of the Trace Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.1.1 Formulation of the Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.1.2 The Case of an Abelian Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.1.3 The Case of a Free Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.2 Induced Modules over NG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.2.1 The Center-Valued Trace on NG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.2.2 Matrices with Entries in NG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

A Tools from Commutative Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

A.1 Localization and Local Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

A.2 Integral Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

A.3 Noether Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

A.4 The Krull Intersection Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

A.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

B Discrete Ring-Valued Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

B.1 Discrete Group-Valued Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

B.2 Idempotent-Valued Premeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

B.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

C Frobenius’ Density Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

C.1 The Density Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

C.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Contents XIII

D Homological Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

D.1 Complexes and Homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

D.1.1 Chain Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

D.1.2 Double Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

D.1.3 Tor and Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

D.2 Group Homology and Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

D.2.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

D.2.2 H2 and Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

D.2.3 Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

D.2.4 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

D.2.5 The (co-)homology of an Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

D.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

E Comparison of Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

E.1 Equivalence and Weak Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

E.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

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