Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Absolute Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Absolute Values – Completions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Archimedean Complete Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Non-Archimedean Complete Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Valuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Ordered Abelian Groups – Valuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Constructions of Valuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Rational Function Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Ordered Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 Rigid Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Dependent Valuations – Induced Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Approximation – Completion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Extension of Valuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1 Chevalley’s Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Algebraic Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 The Fundamental Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4 Transcendental Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 Henselian Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1 Henselian Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2 p-Henselian Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Ordered Henselian Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4 The Canonical Henselian Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
X Contents
5 Structure Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1 Infinite Galois Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2 Unramified Extensions – First Exact Sequence . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3 Ramified Extensions – Second Exact Sequence . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4 Galois Characterization of Henselian Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6 Applications of Valuation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.1 Artin’s Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2 p-Adically Closed Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.3 A Local-Global Principle for Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . 163
A Ultraproducts of Valued Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
B Classification of V -Topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Standard Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203