You are here

James Gregory and the Pappus-Guldin Theorem - Latin Originals from the GPU (1)

Author(s): 
Andrew Leahy (Knox College)

The section contains the Latin originals of Propositions 23,27, 29, 31, 33, and 35. The complete work is available online here.

Prop. 23. Theorema.

Si cylindricus rectus existens super qualibet figura, secetur plano quilibet truncus huius cylindrici erit ad solidum rotundum oritum ex eius base rotata circa communem sectionem baseos (si ope est) producta & plani secantis, vt altitudo cylindric ad circus ferentiam circuli, cuius semidiameter est radius rotationis.

 

Sit cylindricus rectus ABDC super figura quacunque DCF, qui secetur plano quocunque KINM, ita vt communis intersectio plani cum cylindrico siat figura RGHQ.

 

/images/cms_upload/figure2000463.png

 

producatur planum secans dones baseos DCF planum secet in recta KI, & planum AB in recta MN: & puncto quolibet rectae IK nempe L, ducatur eidem IK perpendiculare planum OLP, secans plan IKMN, DFC, normaliter in rectis OL, LP; sitque perpendicularis in LP recta OP. Supponimus hic KI esse axem rotationis; & rectam PL illi normalem, appellamus radium rotationis. dico truncum cylindrici RQDC esse ad solidum rotundum ortum ex rotatione figurae DEFC circa IK axem rotationis, vt OP altitudo cylindrici ad circumferentiam circuli, cuius semidiameter est radius rotationis LP. per basem DEFC ducatur vbilibet recta EF, a baseos circumferentia vtrinque terminata in E & F, quae producta, axi rotationis normaliter incidat in puncto V: a punctis E, F, excitentur perpendiculares baseos plano EH, FG, a plano secante terminatae in H & G, quae necessario sunt in superficie turnci ob cylindricum rectum, ducaturque VH recta, quae necessario existit in IKMN plano secante: manifestum est triangula OLP, HEV, rectangula ad P & E (cum habeamt angulos OLP, HEV, aequales inclinationi plani secantis I K M N) esse similia; & ducta recta GV, ob eandem rationem similia sunt triangula HEV, GFV, cumque GF sit parallella rectae HE, & EF in directum EV; coincident rectae GV, HV, in vnam rectam plani IKMN, eritque GHEF communis intersectio plani GFV, plano OPL parallelli, cum trunco cylindrici RQDC: patet ergo OP ad PL esse, vt HE ad EV; & ideo vt OP ad circumferentiam circuli cuius semidiameter EV; & vt OP ad circumferentiam circuli cuius semidiameter PL, ita (reliquos terminos in eandem altitudinem, nempe semissem rectae EV, ducendo) triangulum HEV ad circulum cuius semidameter EV: eodem modo demonstratur esse, vt OP ad circumferentiam circuli, cuius semdiameter PL, ita triangulum GFV ad circulum, cuius semidiameter FV: est igitur totum triangulum GFV ad totum circulum cuius semidiameter FV, ita ablatum triangulum HEV ad ablatum circulum cuius semidiameter EV; & proinde in eodem ratione erit relictum trapezium GF EH ad relictam armillam circularem genitam ex reuolutione rectae FE circa axem rotationis IK, nempe in ratione OP ad circumferentiam circuli, cuius semidiameter LP: atque haec proportio eodem modo demonstratur de omnibus rectis ductis in base DEFC, quae (si opus est) productae, in axem rotationis IK normaliter incidunt; atque ex omnibus istis rectis constatur ipsa basis DC; ex omnibus trapeziis super istis rectis descriptis constatur truncus RQDC, & ex omnibus armillis abistarum rectarum reuolutione genitis, constatur solidum rotundum genitum a reuolutione baseos circa axem rotationis IK; & proinde vt vna antecedentium ad vnam consequentium, nimirum OP altitudo cylindri ad circumferentiam circuli cuius semidiameter PL radius nempe rotationis, ita omnes antecedentes, nimirum omnia trapezia, hoc est truncus RQDC, ad omnes consequentes, nempe omnes armillas circulares, hoc est, solidum rotundum ortum ex rotatione figurae DC circa axem IK, quod demonstrare oportuit.

Hoc theorema eodem modo demonstratur de trunco superiore, si figura AB concipiatur rotari circa rectam MN.

 

Patet ex demonstratione truncum RQDC & solidum rotundum ortum ex reuolutione baseos DC circa axem rotationis IK, esse quantitates magnitudine & grauitate analogas, quoniam eadem proportio quae demonstratur inter integras, eodem modo demonstratur de earum partibus proportionalibus.

In sequentibus notandum (quando loquimur d superficie cylindrici vel trunci) nos intelligere solam superficiem sine basibus; hoc est nunquam consideramus figuras quae sunt cylindrici bases, nec communem secionem plani cylindricum secantis.

Prop. 27. Theorema.

Si duo cylindrici recti quicunque aquialis, secentur a planis quibuscunque, vnusquisque in duos truncos; proportio, solidi rotundi orti ex rotatione baseos cylindrici circa communem baseos (si opus est) producta cum Plano secante intersectionem, ad solidum rotundum ortum ex simili alterius cylindrici baseos rotatione, est composita ex directa proportione radiorum rotationis & directa proportione truncorum cylindrici inferiorum. 

 

Sint duo cylindrici recti aequialti ABCD, NMOYXZ, basibus DC, XYZ, insistentes, a planis intersecti, vnu quisque in duos truncos; nempe cylindricus ABCD sit interfectus a plano KHFG in truncos AB43, 43DC, & cylindricus NMOYXZ a plano PSVR in truncos NMO765, 76ZXY. Sint plani HFGK cum basium planis cylindrici parallellarum (si opus est) productis, DC, OB, interseciones rectae KH, GF; sintque plani PSVR cum planis basium cylindrici parallellarum NMO, ZXY, (si opus est) productis, interseciones, rectae

/images/cms_upload/figure2000463.png

 

RP, VS. Sintque plana rectis FG, SV, normalia, quae plana secantia intersecant in rectis IE, QT, & plana basium DC, ZXY, (si opus est) producta in rectis LE&T; sintque anguli ILE, QWT, recti. Manifestum est ex huius 23, positis HFGK, PSVR, planis secantibus & GF, VS, rotationis axibus, LE, WT, esse rotationis radios. Dico igitur solidum rotundum ortum ex rotatione figurae DC circa GF, esse ad solidum rotundum ortum ex rotatione figurae ZXY circa VS, in ratione composita ex proportione trunci 34CD ad truncum 567YXZ & ex proportione radii rotationis LE ad radium rotationis WT. Ratio solidi rotundi orti ex figura DC ad solidum ortum ex figura ZXY, est composita, ex ratione solidi rotundi ex DC orti ad truncum 34CD, ex ratione trunci 567YXZ ad solidum rotundum ex ZXY ortum; sed ratio solidi rotundi ex DC orti ad truncum 34CD est aequalis rationi circumferentiae circuli ex semidiametro LE descripti ed IL altitudinem cylindrici: & ratio trunci 567YXZ ad solidum rotundum ex YXZ ortum est aequalis rationi QW seu IL altitudinis cylindrici ad circumferentiam circuli ex semidiametro TW descripti; & proinde ratio solidi rotundi orti ex D C ad solidum rotundum ortum ex ZXY est composita, ex ratione trunci 34CD ad truncum 567YXZ, ex ratione circumferentiae circuli ex semidiametro LE descripti ad rectam IL, & ex ratione rectae IL ad circumferentiam circuli ex semidiametro TW descripti; sed hae duae postremae rationes componunt rationem circumferentiae circuli ex semidiametro LE descripti ad circumferentiam circuli ex semidiametro TW descripti, quae eadem est cum ratione semidiametri LE ad semidiametrum TW: & proinde solidum rotundum ortum ex rotatione figurae DC circa axem FG est ad solidum rotundum ex rotatione figurae XYZ circa axem VS in ratione composita ex proportione trunci inferioris 34CD ad truncum inferiorem 567 YXZ, & ex proportione radii rotationis E L ad radium rotationis TW, quod demonstrandum erat.

Prop. 29. Theorema.

Si super qualibet figura circa axem intelligatur cylindricus rectus, ita sectus a plano in duos truncos, vt planum per oppositarum cylindrici basium axes ductum, siat plano secanti normale; truncus vnus erit ad truncum alterum reciproce, vt partes radii rotationis resecta a centro grauitatis figura. 

 

Svper qualibet figura LKM circa axem KN sit cylinricus rectus ABDMLK sectus in truncos ABDZY2, ZY2KLM, a plano ETVG ad planum ACNK, per oppositarum cylindrici basium axes AC, KN, ductum, normali: sint P, O, centra grauitatis basium oppositarum, quae iungantur recta PO. Producatur planum secans, donec axes AC, KN (si opus est) productis intersecet in punctis F, S; & in eosdem axes (si opus est) productos sint perpendiculares FI, SQ; manifestum est FISQ esse parallellogrammum rectangulum, item FI esse cylindrici altitudinem, & IS rotationis radium, quipipe a intersectionem plani secantis & baseos LKM nempe rectam TV est perpendicularis, quoniam ducitur in plano FQSI, quod vtrique plano & secanti & baseos LKM est normale. Dico truncum ABDZY 2 esse ad truncum 2YZMLK vt reciproce IO ad OS. a mediis punctis rectarum FI, QS, nempe H, R, ducantur rectae H S, R F necnon HR secans OP in X; erunt itaque inter se parallellae & aequles FI, PO, QS, item FQ, HR, IS, item FR, HS, Quoniam F R bifariam secat QS, bifariam quoque secabit in triangulo FQS omnes rectas ipsi QS aequidistantes; & prond bifariam secabit omnes diametros rectangulorum in trunco ABDZY2 a plano FI S Q normaliter secatorum; & ideo transibit per centra grauitatis omnium corundem rectangulorum, cumque ipse truncus cnfletur ex omnibus istis rectangulis; idcirco transibit etiam recta F R per centrum grauitatis ipsius trunci, hoc supponatur esse 3: eodem modo

 

/images/cms_upload/figure2000463.png

 

demonstratur in HS esse centrum grauitatis trunci YZMLK2: cum ergo X medium punctum rectae OP sit centrum grauitatis torius cylindrici; si a 3 per X producatur recta 3X4 donec rectam HS intersecet in 4, erit centrum grauitatis trunci YZMLK: & quia triangula XR3, XH4, sunt similia propter parallellas RF, H , et vt X4 ad X3 ita XH ad XR, hoc est IO ad OS; sed vt X4 ad X3 ita truncus ABDZY2 truncum YZKMK2 ita reciproce IO ad OS, quod demonstrandum erat.

Consectarivm.

Et proinde componendo totus cylindricus ABDMLK est ad truncum inferiorem YXMLK2 vt radius rotationis IS ad distantiam inter centrum grauitatis figurae & axem rotationis eiusdem nempe OS.

 

Andrew Leahy (Knox College), "James Gregory and the Pappus-Guldin Theorem - Latin Originals from the GPU (1)," Loci (February 2010), DOI:10.4169/loci003262

Dummy View - NOT TO BE DELETED