E ono kope o ruŋa: e hā taŋata, e tahi vi’e, ‘e he poki e tahi.
Había seis personas a bordo: cuatro hombres, una mujer, y un niño. [Pakomio Ika 1984]

Formada por actividad volcánica ahora inactiva, Rapa Nui, o Isla de Pascua como se le conoció, se encuentra a más de 3500 kilómetros de la costa chilena y a 2000 kilómetros de la isla habitada más cercana, la isla de Pitcairn. Rapa Nui se encuentra en la parte más al sureste del triángulo polinesio. La isla entró en la historia escrita, el Domingo de Pascua, 5 de abril de 1722, cuando fue vista por una flota holandesa comandada por Jacob Roggeveen. La isla fue visitada nuevamente en 1770 por una expedición española liderada por Felipe González, seguida por James Cook en 1774 y por el conde La Pérouse en 1786.

Rapa Nui se utiliza para nombrar tanto la isla como su gente. El lenguaje del pueblo Rapa Nui es el Rapanui, que significa "gran Rapa." Se desconoce el significado de la palabra "Rapa"; sin embargo, Rapa es el nombre de una isla más al sur en la Polinesia Francesa [Kieviet 2017, 1]. Las fuentes no están de acuerdo con el número actual de hablantes de Rapanui; las cifras oscilan entre 1.000 y 2.500 hablantes.

Figura 2.  Ximena Catepillán y Cynthia Huffman en Rapa Nui en julio de 2019.   

Visitamos la isla en julio de 2019 con un grupo dirigido por el arqueólogo Dr. Edwin Barnhart de Ancient Explorations. El grupo incluía tres expertos en cartografía de Tukuh Technologies, una compañía de propiedad tribal ubicado en Kansas City, MO. Se levantaron mapas con dos sistemas de aeronaves no tripuladas de ala fija (UAS), comúnmente conocidos como drones. Los drones capturaron ortoimagenes de alta resolución de los sitios arqueológicos. Mediante la tecnología LiDAR (Light Detection and Ranging) se obtuvo datos de algunas cuevas de la isla.

Figura 3.  (Izquierda) Ximena Catepillán lanzando un dron de ala fija para fotogrametría de una zona de la isla. 
(Derecha) Cynthia Huffman con una mochila de 50 libras de un valor de $250,000 en tecnología LiDAR.

Después del viaje, los participantes (incluidas las Dras. Catepillán y Huffman) pudieron ayudar al equipo de Tukuh Technologies a localizar algunas características arqueológicas de las imágenes tomadas por los drones. A continuación, se muestra una captura de pantalla del trabajo de identificación en curso.

Figura 4. Ejemplo de identificación y mapeo de características arqueológicas. Cortesía de Tukuh Technologies, LLC.

Aunque Rapa Nui es famosa por sus estatuas monumentales—o Moai—también tiene muchos tubos de lava (cuevas), con un gran número de petroglifos, y algunos pictogramas, mostrando una variedad de motivos. De hecho, Rapa Nui tiene una de las colecciones más ricas de este tipo de arte rupestre de la polinesia. La cueva Ana O Keke (Cueva de las Vírgenes) fue uno de los sitios visitados por los topógrafos y miembros de nuestro grupo. Esta cueva, cuya pequeña entrada bordea un acantilado, rara vez es visitada por los turistas debido a su difícil y peligroso acceso. Se encuentra en el extremo noreste del volcán, Poike, en el lado este de Rapa Nui, y tiene un panel de petroglifos en el lado derecho de su entrada.

Figura 5.  Panel de entrada en Ana O Keke, foto de Robert Tidwell.

El idioma de los Rapanui pertenece a las lenguas polinesias orientales, una rama de las lenguas austronesianas. Según los lingüistas, los primeros pueblos llegaron a aproximadamente el año 400 d.C. Sin embargo, los arqueólogos datan de su llegada entre 700 y 800 d.C., aunque coinciden en que los pueblos posiblemente se originaron en la Polinesia oriental. El sistema numérico Rapanui es decimal y casi idéntico al sistema numérico tahitiano.

El primer misterio que discutiremos es la forma única de escribir, llamada Rongorongo, que fue utilizada por la gente sagrada en Rapa Nui. Se perdió la capacidad de leer Rongorongo  cuando los comerciantes de esclavos de Perú secuestraron o mataron a casi la mitad de la población de Rapa Nui en 1862. El Rongorongo sigue siendo una de las escrituras parcialmente no descifradas en el mundo.

Se ha descubierto menos de 30 artefactos que contienen la escritura Rongorongo, en su mayoría tabletas de madera. Los caracteres Rongorongo aparecen en líneas, con orientación alterna. Una teoría es que dos personas frente a frente pueden leer la tableta; otra teoría es que la tableta podría haber sido leída por una persona y girada al alcanzar el final de la línea. Se cree que las tabletas fueron utilizadas durante ceremonias especiales por algunos hombres de la élite, llamados hombres rongorongo o tangata rongorongo [Metraux 1971, 390–391; Routledge 1920, 245–246].

En 1958, Thomas Barthel publicó un libro con información de un calendario lunar incluido en una tableta de Rongorongo llamada Mamari [Barthel 1958]. La siguiente figura muestra los glifos del calendario lunar que se encuentran en la tableta Mamari. Se utilizó combinaciones de estos glifos para componer el mes lunar.

Figura 6. Dibujos de glifos de un calendario lunar en Rongorongo, basados en Barthel 1958.

En 1990, Chile finalmente volvió a la democracia cuando Patricio Aylwin fue elegido democráticamente a la presidencia después de 17 años de dictadura bajo Augusto Pinochet. El Presidente Aylwin comenzó a instituir varias reformas en respuesta a las protestas de grupos indígenas, incluido los rapanui. Entre ellas figuran, iniciativas para otorgar a los grupos el reconocimiento constitucional y aumentar el control local sobre las tierras y los recursos nacionales [Baartmans 2012–2013, 12].

Fue durante esos años que el tío de Ximena, Jorge Catepillán, quien fue director de negocios de la Corporación de Fomento de la Producción (CORFO), cargo que le dio el presidente Aylwin, viajó con una comisión gubernamental a Rapa Nui en representación de CORFO. CORFO es una corporación nacional de desarrollo de la producción; la Sociedad de Agricultura y Servicios de Rapa Nui (SASIPA) forma parte de CORFO y poseía el 40% de la isla hasta principios de la década de 2010 [Delsing 2015, 246].

Una réplica de una tableta de Rongorongo fue entregada a Jorge Catepillán como regalo por un ingeniero agrícola y amigo que había estado viviendo en Rapa Nui durante muchos años. Ambos lados de la tableta se pueden ver a continuación. Los glifos del calendario lunar se resaltan en la imagen inferior.

Figura 7. Tableta Rongorongo regalada a Jorge Catepillán.

Antes de analizar los próximos misterios, algunos conocimientos de fondo serán útiles. Los objetos arqueológicos llamados paenga se pueden encontrar a lo largo de Rapa Nui. Estas son piedras alargadas de basalto que una vez formaron cimientos de casas de paja llamadas hare  paenga o "casas botes", que fueron llamadas así ya que parecían botes volcados. Los agujeros en las piedras de paenga sostenían postes que estaban atados y luego cubiertos de paja. Una puerta baja estaría en el centro de uno de los lados largos de la casa bote, que se abría a un patio de piedra. La gente dormía "paralela al eje mayor de la casa, las cabezas estaban hacia la puerta; los ancianos estaban en el centro en parejas, y los más jóvenes en los extremos" [Routledge 1920, 200].

Figura 8. Vistas de piedras paenga.

Figura 9. Exterior e interior de una replica de hare paenga; (Derecha) el interior muestra
los postes y la covertura con Sebastián, el hijo de Ximena.

Figura 10. (Izquierda) Corte que muestra una réplica de hare paenga con su fundación.
(Derecha) Ximena Catepillán saliendo de una réplica de hare paenga.

Las piedras paenga fueron reutilizadas a lo largo de los años. A veces se les hacía nuevos agujeros y las piedras se reutilizaban para una nueva hare paenga. Otras fueron reutilizadas en proyectos de construcción como plataformas ahu para los moai, terrazas y revestimientos de pozos.  Las paenga eran incluso "tomadas como botín en incursiones enemigas" [Routledge 1920,  199]. Más recientemente, durante la primera mitad del siglo 20, cuando la mayor parte de la isla se utilizó para la cría de ovejas, las piedras se utilizaron en los muros de piedra que se construyeron en la isla. 

Figura 11. Las piedras de paenga se reutilizan para hacer un horno de tierra.

Incluso con toda la reutilización de las piedras paenga, todavía existen ruinas de cimientos completos o casi completos de hare paenga. En la literatura, se dice que los cimientos de la hare paenga de Rapa Nui son elípticos. Sin embargo, a primera vista en persona, las ruinas de una hare paenga parecen demasiado puntiagudas en los extremos y demasiado rectas en los lados para ser una elipse.

Figura 12. Ximena Catepillán comprobando la orientación de los restos de una hare paenga.

Sin embargo, después de investigar con GeoGebra y Desmos, descubrimos que es posible ajustar una elipse a la forma de una base de piedra con los focos de la elipse cerca de los extremos del eje principal.

El applet GeoGebra a continuación demuestra la colocación de una elipse a los restos de una base de piedra hare paenga. Moviendo puntos sobre la elipse en el centro inferior del applet, en particular el punto color magenta que controla el eje menor de la elipse y el punto rojo que es uno de los focos, se puede ajustar para obtener la elipse correspondiente en la imagen en la parte superior izquierda para que coincida con las ruinas arqueológicas.  Al mover el punto verde se traza la elipse. Se puede ver la suma por encima del botón "Restablecer", mientras se mueve el punto verde, se muestra dinámicamente la definición de la elipse—i.e. la suma de las distancias desde un punto en la elipse a cada foco es una constante.

También se nos permitió el acceso a algunas imágenes de hare paenga obtenidas por Tukuh Technologies durante su mapeo. Usamos GeoGebra para adaptar las elipses a las imágenes. (Ver la actividad del estudiante "Ajuste de curva a los cimientos de piedra en Rapa Nui" para el procedimiento utilizado paso a paso.)

Figura 13. Imágenes de fundaciones de hare paengas. Cortesía de Tukuh Technologies, LLC.

Figura 14. Imágenes tomadas usando GeoGebra para hacer coincidir una elipse en las ruinas.

Además de colocar elipses sobre las imágenes de hare paenga con Desmos y GeoGebra, analizamos doce de las imágenes de drones de Tukuh Technologies utilizando mediciones aproximadas de los ejes principales y menores de los restos de los cimientos de las hare paenga.

Promedios

Estas mediciones fueron similares a las encontradas a partir del trabajo de terreno en Rapa Nui en 1968-69: "las hare paenga en el área analizada eran de tamaño medio, correspondientes a las observaciones de Métraux [1971, 200] de dimensiones generales de la casa—10 a 15 metros de largo y 1,5 a 2 metros de ancho. La más pequeña medía 4,8 x 1,3 metros y la más grande de más de 40 metros de largo calculado a partir de la longitud del pavimento de la casa" [McCoy 1976,  50].

Observe la última columna de la tabla anterior. El valor \(a-c\)  es la distancia entre un foco y el extremo más cercano del eje principal. Para los ejemplos de la tabla, este valor es de aproximadamente 3 a 4 pulgadas, que podría corresponder al ancho de una mano o 3-4 dedos. Aunque no se sabe cómo se colocaron los cimientos de hare paenga, un método que funcionaría se basaría en la definición de una elipse usando una cuerda (con longitud igual a la longitud deseada de la casa flotante), 2 estacas o postes (situados en el foco sobre un ancho de manos desde los extremos de los ejes principales), y un palo para marcar la elipse en la tierra. (Véase las actividades de aula de clase correspondientes.) El siguiente video muestra cómo los cimientos podrían haber sido trazados usando la definición de una elipse.

A pesar de que no sabemos exactamente cómo los Rapanui construyeron los cimientos, hay evidencia de que usaron cuerdas o sogas para las mediciones. La siguiente cita es de una expedición a la Isla de Pascua en 1786:  "El cuidado que tomaron para medir nuestro barco me convenció, que no contemplaban las artes con estupidez. Examinaron nuestros cables, nuestros anclajes, nuestra brújula y nuestro timón; y volvieron por la noche con una cuerda para tomar mediciones nuevamente" [La Pérouse 1798, 328, énfasis añadido].

No se sabe qué tan pronto después de que Rapa Nui fue habitada la gente comenzó a construir las hare paenga, pero el uso parece haber sido discontinuado a mediados del siglo 19 [Métraux 1971, 196, 200]. En la expedición de 1910, Katherine Routledge conoció a ancianos, muchos de los cuales "nacieron y se criaron en estas casas, que se conocen como “hare  paenga"  [Routledge 1920, 200]. Cabe mencionar que la hare paenga  no era el único tipo de casas utilizadas en el pasado en Rapa Nui. De hecho, se cree que sólo personas especiales tenían una hare paenga para dormir o cuidarse de la lluvia. Otros pueden haber vivido en  chozas de paja sin cimientos de piedra. También fueron utilizados cuevas y refugios rocosos de varios tamaños.

Figura 15. Viviendas subterráneas y casas de piedra en Orongo, un sitio ceremonial en el borde suroeste de Rapa Nui.

Figura 16. Ana Te Pahu—el complejo cavernario más grande de la isla que fue habitado.

En algunos lugares el viento era demasiado fuerte para hacer una vivienda de paja.  Entonces Se construyeron casas elípticas de piedra, que Métraux [1971, 204] sugiere que fueron modeladas usando las hare paenga. Las mediciones de una de estas casas [La Perouse 1798, 192] eran 26 pies para el eje mayor (7.9 mts) y 6 pies para el eje menor (1.8 mts), dando una distancia de un poco más de 4 pulgadas (10 cm) entre un extremo del eje principal y un foco, similar a la hare paenga presentada más arriba.

Cuatro actividades para el aula de clases basadas en las exploraciones en este artículo se presentan a continuación, como enlaces, en documentos PDF.

Actividad 1: ¿Cuál es la forma de una casa Rapanui tradicional? Una actividad matemática multicultural que involucra elipses

Esta actividad (pdf) es apropiada para los estudiantes de secundaria en una clase que estudia secciones cónicas o estudiantes de una clase de álgebra universitaria. La primera parte de la actividad incluye un repaso algebraico de elipses con ejercicios, mientras que la segunda parte presenta la ecuación de una elipse correspondiente a los cimientos de una casa bote Rapanui.

Actividad 2:  Actividad al aire libre: Construcción de un modelo de cimiento de hare paenga (casa bote) en Rapa Nui con una elipse

Esta actividad al aire libre (pdf) es ideal para una clase secundaria o universitaria que estudie elipses y ofrece a los estudiantes una aplicación práctica de la definición de una elipse.

Actividad 3:  La fundación hare paenga (casa bote) de la isla Rapa Nui con una elipse

Esta actividad interior (pdf) es una modificación de la Actividad 2 para su uso en el aula. A los estudiantes se les pide que encuentren una escala de medición apropiada y que luego construyan un modelo a escala de una casa bote Rapanui basado en la definición de una elipse. Las actividades 3 y 2 podrían combinarse haciendo que los estudiantes construyan primero un modelo de escala (Actividad 3) y luego construyan un modelo a gran escala fuera (Actividad 2).

Actividad 4:  Ajuste de curva a los cimientos de piedra en Rapa Nui

Esta actividad de ajuste de curva (pdf) puede ser utilizada como una demostración del maestro o completada por los estudiantes, ya sea individualmente o en grupos. GeoGebra se utiliza para ajustar una elipse a una imagen de dron de un cimiento de hare paenga.

Las preguntas que motivaron el estudio que realizamos en relación con nuestro viaje a Rapa Nui fueron: ¿Son elípticas las bases de piedra de las hare paengas? ¿Usaron los Rapanui la técnica de dos focos para construir las hare paenga? Y, ¿hay matemática incluída en la escritura de Rongorongo? Hemos respondido la primera pregunta en este artículo, gracias en parte a la confirmación proporcionada por el estudio de las imágenes recogidas a través de los drones y tecnología LiDAR. Sin embargo, la respuesta a la segunda pregunta sigue siendo un misterio matemático. El encontrar una descripción del calendario lunar en algunas de las tabletas de Rongorongo proporciona un primer paso para responder a la tercera pregunta, pero queda mucho estudio para descifrar completamente las tabletas.

Una de las dificultades para responder a la segunda pregunta es la limitada información disponible, ya que hoy sólo sobrevive un pequeño número de hare paenga. Métraux [1971, 195] cree que, si bien las hare eran comunes, las hare paenga a base de piedra no eran tan comunes y eran un reflejo de riqueza y estatus. Lamentablemente, muchas de las bases de piedra de hare paenga fueron reutilizadas más tarde en la construcción de muros, casas de piedra y otras viviendas. En la imagen de abajo, que representa el interior de un refugio subterráneo llamado ana kionga o hare kionga, el lector puede ver cómo se utilizó bases de hare paenga para construir una pared interior [McCoy 1976, 38].

Figura 17. Estructura construída reusando piedras hare paenga en McCoy 1976.

En 1916, Edwin Ferdon llamó la atención sobre los parecidos entre los planos de planta de las casas de Orongo y las hare paenga. Las casas de Orongo, construidas en el pueblo ceremonial de Orongo, eran estructuras permanentes a las que los participantes de alto rango en las ceremonias podían regresar cada año. Se cree que el exterminio de los bosques fue la causa de la aparición de este tipo de construcción de casas de piedra [McCoy 1976, 151].

Es bastante frustrante leer la poca atención y los pocos fondos que se ha dedicado a la restauración y preservación de los sitios arqueológicos en la isla. Además, algunos de los trabajos de restauración no se han realizado de una manera que conserve su autenticidad [Ramírez 2016, 138–141]. En la década de 1960, la construcción del primer aeropuerto de la isla utilizó excavadoras que retiraron miles de toneladas de la capa superficial del suelo que contenían material arqueológico que incluía piezas de moais, cimientos de casas y una figura de piedra que se cree que contenía elementos astronómicos [Ramírez 2004, 493]. Quisieramos motivar a los lectores a unirse a nosotros para identificar y apoyar a las organizaciones que trabajan para proteger el patrimonio arqueológico y ecológico de Rapa Nui. Además, esperamos que algunos lectores de este artículo puedan llegar a ser—o les enseñen a los estudiantes que serán—los futuros arqueólogos, antropólogos y matemáticos que resuelvan los misterios matemáticos de esta isla tan especial.

Baartmans, Chloe. 2012–2013. Rapa Nui: the struggle for indigenous land rights on Easter Island. MA Thesis, Tilburg Law School, The Netherlands.

Barthel, Thomas. 1958. Grundlagen zur Entzifferung der Osterinselschrift. Hamburg: Cram, de Gruyter.

Delsing, Riet. 2015. Articulating Rapa Nui: Polynesian Cultural Politics in a Latin American Nation-State. University of Hawai‘i Press. 

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Ferdon, Edwin N., Jr. 1961a. Easter Island house types. In Archaeology of Easter Island. Reports of the Norwegian Archaeological Expedition to Easter Island and the East Pacific, edited by T. Heyerdahl & E.N. Ferdon, vol. 1, 329–338. Santa Fe: Monographs of the School of American Research and the Museum of New Mexico.

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Kieviet, Paulus. 2017. A Grammar of Rapa Nui. Vol. 12, Studies in Diversity Linguistics. Berlin: Language Science Press.

La Pérouse, Jean-François, comte de Galaup, L. A. Milét-Mureau, and L. Destouff. 1798. The voyage of La Pérouse round the world, in the years 1785, 1786, 1787, and 1788, with the nautical tables. 3 vol. London: Printed for John Stockdale. 

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Ramírez Aliaga, José Miguel. 2004. Manejo del Recurso Arqueológico en Rapa Nui: Teoría y Realidad. Chungará (Arica) 36, supp. 1: 189–197. https://dx.doi.org/10.4067/S0717-73562004000300049.

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Tukuh Technologies. Accessed 14 December 2020. https://www.tukuh.com.

Agradecimientos

Nos gustaría expresar nuestro especial agradecimiento a Robert Tidwell, un antropólogo que viajó con nosotros a Rapa Nui, y que nos proporcionó excelentes fuentes bibliográficas y consejos que facilitaron la escritura de este artículo.

Agradecemos a los árbitros y editores por la revisión cuidadosa y perspicaz de nuestro artículo que condujo a mejoras significativas de nuestra presentación.

Quisieramos también agradecer al Dr. Samuel Navarro, Universidad de Santiago de Chile USACH, por la esmerada revisión de la traducción al español de este artículo hecha por la Dra. Ximena Catepillán.

Acerca de los autores

Ximena Catepillán es profesora emérita del Departamento de Matemáticas de Millersville University. Fue directora de la sección EpaDel (Pensilvania Este y Delaware) de la Mathematical Association of America (MAA) entre los años 2017 y 2019. Ximena tiene raíces indígenas de América del Sur y es una apasionada por la matemática de las Américas pre-Colombinas.

Cynthia J. Huffman es profesora del Departamento de Matemáticas de Pittsburg State University. Ella siempre ha estado interesada en la historia de las matemáticas, y este interés surgió especialmente a raíz de su participación en los viajes de estudios de la Mathematical Association of America (MAA). Sus áreas de investigación incluyen algebra commutativa computacional e historia de las matemáticas. La doctora Huffman es una solista de campanillas y es cinturón negro en karate chino Kempo.

Scott Thuong es profesor asociado del Departamento de Matemáticas de Pittsburg State University. Sus área de investigación incluyen topología, geometría e historia de las matemáticas. El doctor Thuong disfruta su tiempo libre con sus dos perros de raza basset hound y un buen juego de ping-pong.