Preface : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : V
I – Sets and Functions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
x1. Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 – Membership, equality, empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 – The set defined by a relation. Intersections and unions . . . 10
3 – Whole numbers. Infinite sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 – Ordered pairs, Cartesian products, sets of subsets . . . . . . . 17
5 – Functions, maps, correspondences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 – Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7 – Equipotent sets. Countable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8 – The different types of infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9 – Ordinals and cardinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
x2. The logic of logicians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II – Convergence: Discrete variables : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45
x1. Convergent sequences and series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
0 – Introduction: what is a real number? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1 – Algebraic operations and the order relation: axioms of R . 53
2 – Inequalities and intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 – Local or asymptotic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 – The concept of limit. Continuity and differentiability . . . . 63
5 – Convergent sequences: definition and examples . . . . . . . . . . 67
6 – The language of series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7 – The marvels of the harmonic series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8 – Algebraic operations on limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
x2. Absolutely convergent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9 – Increasing sequences. Upper bound of a set of real numbers 98
10 – The function log x. Roots of a positive number . . . . . . . . . 103
11 – What is an integral? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
12 – Series with positive terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
13 – Alternating series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14 – Classical absolutely convergent series . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
15 – Unconditional convergence: general case . . . . . . . . . . . . . . . 127
XX Contents
16 – Comparison relations. Criteria of Cauchy and d’Alembert 132
17 – Infinite limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
18 – Unconditional convergence: associativity . . . . . . . . . . . . . . 139
x3. First concepts of analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
19 – The Taylor series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
20 – The principle of analytic continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
21 – The function cot x and the series P1=n2k . . . . . . . . . . . . . 162
22 – Multiplication of series. Composition of analytic functions.
Formal series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
23 – The elliptic functions of Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
III – Convergence: Continuous variables : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 187
x1. The intermediate value theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
1 – Limit values of a function. Open and closed sets . . . . . . . . 187
2 – Continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3 – Right and left limits of a monotone function . . . . . . . . . . . . 197
4 – The intermediate value theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
x2. Uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5 – Limits of continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6 – A slip up of Cauchy’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7 – The uniform metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8 – Series of continuous functions. Normal convergence . . . . . . 220
x3. Bolzano-Weierstrass and Cauchy’s criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9 – Nested intervals, Bolzano-Weierstrass, compact sets . . . . . 225
10 – Cauchy’s general convergence criterion . . . . . . . . . . . . . . . . 228
11 – Cauchy’s criterion for series: examples . . . . . . . . . . . . . . . . 234
12 – Limits of limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
13 – Passing to the limit in a series of functions . . . . . . . . . . . . 241
x4. Differentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
14 – Derivatives of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
15 – Rules for calculating derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
16 – The mean value theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
17 – Sequences and series of differentiable functions . . . . . . . . . 265
18 – Extensions to unconditional convergence . . . . . . . . . . . . . . 270
x5. Differentiable functions of several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
19 – Partial derivatives and differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
20 – Differentiability of functions of class C1 . . . . . . . . . . . . . . . 276
21 – Differentiation of composite functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
22 - Limits of differentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
23 – Interchanging the order of differentiation . . . . . . . . . . . . . . 287
24 – Implicit functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
0 Contents
Appendix to Chapter III : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 303
1 – Cartesian spaces and general metric spaces . . . . . . . . . . . . . 303
2 – Open and closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
3 – Limits and Cauchy’s criterion in a metric space; complete
spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
4 – Continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5 – Absolutely convergent series in a Banach space . . . . . . . . . 313
6 – Continuous linear maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
7 – Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
8 – Topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
IV – Powers, Exponentials, Logarithms, Trigonometric Functions
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 325
x1. Direct construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
1 – Rational exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
2 – Definition of real powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
3 – The calculus of real exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
4 – Logarithms to base a. Power functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
5 – Asymptotic behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6 – Characterisations of the exponential, power and logarithmic
functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7 – Derivatives of the exponential functions: direct method . . 339
8 – Derivatives of exponential functions, powers and logarithms342
x2. Series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9 – The number e. Napierian logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10 – Exponential and logarithmic series: direct method . . . . . . 346
11 – Newton’s binomial series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
12 – The power series for the logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
13 – The exponential function as a limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
14 – Imaginary exponentials and trigonometric functions . . . . 372
15 – Euler’s relation chez Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
16 – Hyperbolic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
x3. Infinite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
17 – Absolutely convergent infinite products . . . . . . . . . . . . . . . 394
18 – The infinite product for the sine function . . . . . . . . . . . . . . 397
19 – Expansion of an infinite product in series . . . . . . . . . . . . . . 403
20 – Strange identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
x4. The topology of the functions Arg(z) and Log z . . . . . . . . . . . . . 414
Index : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 425