Part I The Term Structure of Interest Rates
1 Data and Instruments of the Term Structure
of Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Time Value of Money and Zero Coupon Bonds . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Treasury Bills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Discount Factors and Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Coupon Bearing Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Treasury Notes and Treasury Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 The STRIPS Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Clean Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Term Structure as Given by Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 The Spot (Zero Coupon) Yield Curve . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 The Forward Rate Curve and Duration . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Swap Rate Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Continuous Compounding and Market Conventions . . . . . . . . . 17
1.4.1 Day Count Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Compounding Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Related Markets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Municipal Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.2 Index Linked Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 Corporate Bonds and Credit Markets . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.4 Tax Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.5 Asset Backed Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Statistical Estimation of the Term Structure . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1 Yield Curve Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.2 Parametric Estimation Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.3 Nonparametric Estimation Procedures . . . . . . . . . . . . . . 30
XII Contents
1.7 Principal Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.1 Principal Components of a Random Vector . . . . . . . . . . 33
1.7.2 Multivariate Data PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7.3 PCA of the Yield Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7.4 PCA of the Swap Rate Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Notes & Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Term Structure Factor Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1 Factor Models for the Term Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Affine Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Short Rate Models as One-Factor Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 Incompleteness and Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 Specific Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3 A PDE for Numerical Purposes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.4 Explicit Pricing Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.5 Rigid Term Structures for Calibration. . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4 Term Structure Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.1 The Heath–Jarrow–Morton Framework . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.2 Hedging Contingent Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.3 A Shortcoming of the Finite-Rank Models . . . . . . . . . . . 63
2.4.4 The Musiela Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.5 Random Field Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5 Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Notes & Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Part II Infinite Dimensional Stochastic Analysis
3 Infinite Dimensional Integration Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.1 The Setting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.2 Distributions of Gaussian Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2 Gaussian Measures in Banach Spaces and Examples . . . . . . . . 80
3.2.1 Integrability Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.2 Isonormal Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 Reproducing Kernel Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.1 RKHS of Gaussian Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.2 The RKHS of the Classical Wiener Measure . . . . . . . . . 87
3.4 Topological Supports, Carriers, Equivalence and Singularity. . 88
3.4.1 Topological Supports of Gaussian Measures . . . . . . . . . . 88
3.4.2 Equivalence and Singularity of Gaussian Measures . . . . 89
3.5 Series Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Contents XIII
3.6 Cylindrical Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.6.1 The Canonical (Gaussian) Cylindrical Measure
of a Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6.2 Integration with Respect to a Cylindrical Measure . . . . 94
3.6.3 Characteristic Functions and Bochner’s Theorem . . . . . 94
3.6.4 Radonification of Cylindrical Measures . . . . . . . . . . . . . . 95
3.7 Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Notes & Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4 Stochastic Analysis in Infinite Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1 Infinite Dimensional Wiener Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.1 Revisiting some Known Two-Parameter Processes . . . . 101
4.1.2 Banach Space Valued Wiener Process . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1.3 Sample Path Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1.4 Absolute Continuity Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.1.5 Series Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 Stochastic Integral and Itˆo Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2.1 The Case of E∗- and H∗-Valued Integrands . . . . . . . . . . 108
4.2.2 The Case of Operator Valued Integrands . . . . . . . . . . . . 110
4.2.3 Stochastic Convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3 Martingale Representation Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4 Girsanov’s Theorem and Changes of Measures . . . . . . . . . . . . . 117
4.5 Infinite Dimensional Ornstein–Uhlenbeck Processes . . . . . . . . . 119
4.5.1 Finite Dimensional OU Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5.2 Infinite Dimensional OU Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5.3 The SDE Approach in Infinite Dimensions . . . . . . . . . . . 125
4.6 Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Notes & Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5 The Malliavin Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1 The Malliavin Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1.1 Various Notions of Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1.2 The Definition of the Malliavin Derivative . . . . . . . . . . . 138
5.2 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.3 The Skorohod Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4 The Clark–Ocone Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4.1 Sobolev and Logarithmic Sobolev Inequalities . . . . . . . . 146
5.5 Malliavin Derivatives and SDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.5.1 Random Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.5.2 A Useful Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.6 Applications in Numerical Finance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.6.1 Computation of the Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.6.2 Computation of Conditional Expectations . . . . . . . . . . . 155
Notes & Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
XIV Contents
Part III Generalized Models for the Term Structure
6 General Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1 Existence of a Bond Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.2 The HJM Evolution Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.2.1 Function Spaces for Forward Curves . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.3 The Abstract HJM Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.3.1 Drift Condition and Absence of Arbitrage . . . . . . . . . . . 169
6.3.2 Long Rates Never Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3.3 A Concrete Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.4 Geometry of the Term Structure Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.4.1 The Consistency Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.4.2 Finite Dimensional Realizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5 Generalized Bond Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.5.1 Models of the Discounted Bond Price Curve . . . . . . . . . 183
6.5.2 Trading Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.5.3 Uniqueness of Hedging Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.5.4 Approximate Completeness of the Bond Market . . . . . . 188
6.5.5 Hedging Strategies for Lipschitz Claims . . . . . . . . . . . . . 189
Notes & Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7 Specific Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.1 Markovian HJM Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.1.1 Gaussian Markov Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.1.2 Assumptions on the State Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.1.3 Invariant Measures for Gauss–Markov HJM Models . . . 198
7.1.4 Non-Uniqueness of the Invariant Measure. . . . . . . . . . . . 200
7.1.5 Asymptotic Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.1.6 The Short Rate is a Maximum on Average . . . . . . . . . . . 201
7.2 SPDEs and Term Structure Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.2.1 The Deformation Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.2.2 A Model of the Deformation Process . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.2.3 Analysis of the SPDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.2.4 Regularity of the Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.3 Market Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.3.1 The Forward Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.3.2 LIBOR Rates Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Notes & Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Notation Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Author Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Subject Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231