You are here

Classical Geometries in Modern Contexts: Geometry of Real Inner Product Spaces

Walter Benz
Publisher: 
Birkhäuser
Publication Date: 
2005
Number of Pages: 
242
Format: 
Hardcover
Price: 
99.00
ISBN: 
3-7643-7371-7
Category: 
Monograph
We do not plan to review this book.

Preface ix

1 Translation Groups 1

1.1 Real inner product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Isomorphic, non-isomorphic spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Inequality of Cauchy–Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Orthogonal mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 A characterization of orthogonal mappings . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 Translation groups, axis, kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8 Separable translation groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9 Geometry of a group of permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10 Euclidean, hyperbolic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.11 A common characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.12 Other directions, a counterexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Euclidean and Hyperbolic Geometry 37

2.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 The lines of L.M. Blumenthal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 The lines of KarlMenger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Another definition of lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5 Balls, hyperplanes, subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6 A special quasi-hyperplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7 Orthogonality, equidistant surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.8 A parametric representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.9 Ends, parallelity, measures of angles . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.10 Angles of parallelism, horocycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.11 Geometrical subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.12 The Cayley–Kleinmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.13 Hyperplanes under translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.14 Lines under translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.15 Hyperbolic coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

vi Contents

2.16 All isometries of (X, eucl), (X, hyp) . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.17 Isometries preserving a direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.18 A characterization of translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.19 Different representations of isometries . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.20 A characterization of isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.21 A counterexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.22 An extension problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.23 Amapping which cannot be extended . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3 Sphere Geometries of M¨obius and Lie 93

3.1 M¨obius balls, inversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.2 An application to integral equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.3 A fundamental theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.4 Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.5 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.6 M¨obius circles, MN- and MN-spheres . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.7 Stereographic projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.8 Poincar´e’s model of hyperbolic geometry . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.9 Spears, Laguerre cycles, contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.10 Separation, cyclographic projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.11 Pencils and bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.12 Lie cycles, groups Lie (X), Lag (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.13 Lie cycle coordinates, Lie quadric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.14 Lorentz boosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.15 M(X) as part of Lie (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.16 A characterization of Lag (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3.17 Characterization of the Lorentz group . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3.18 Another fundamental theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4 Lorentz Transformations 175

4.1 Two characterization theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.2 Causal automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.3 Relativistic addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.4 Lightlike, timelike, spacelike lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4.5 Light cones, lightlike hyperplanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.6 Characterization of some hyperplanes . . . . . . . . . . . . . . . . 191

4.7 L(Z) as subgroup of Lie (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4.8 A characterization of LM-distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

4.9 Einstein’s cylindrical world . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

4.10 Lines, null-lines, subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.11 2-point invariants of C (Z), MC(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . 202

4.12 De Sitter’s world . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

4.13 2-point invariants of Σ(Z), MΣ(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . 205

4.14 Elliptic and spherical distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Contents vii

4.15 Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.16 Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.17 Distance functions of X0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

4.18 Subspaces, balls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

4.19 Periodic lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4.20 Hyperbolic geometry revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

A Notations and symbols 231

B Bibliography 233

C Index 239

Dummy View - NOT TO BE DELETED