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Multiplicative Invariant Theory (Invariant Theory and Algebraic Transformation Groups VI)

Martin Lorenz
Publisher: 
Springer Verlag
Publication Date: 
2005
Number of Pages: 
177
Format: 
Hardcover
Series: 
Encyclopedia of Mathematical Sciences 135
Price: 
109.00
ISBN: 
3-540-24323-2
Category: 
Monograph
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Notations and Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 Groups Acting on Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 G-Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Standard Lattice Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Indecomposable Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Conditioning the Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Reflections and Generalized Reflections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Lattices Associated with Root Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9 The Root System Associated with a Faithful G-Lattice. . . . . . . . . . . . 27
1.10 Finite Subgroups of GLn(?? ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Permutation Lattices and Flasque Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Permutation Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Stable Permutation Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Permutation Projective Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 H i-trivial, Flasque and Coflasque Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Flasque and Coflasque Resolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7 Flasque Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8 Quasi-permutation Lattices and Monomial Lattices . . . . . . . . . . . . . . 39
2.9 An Invariant for Flasque Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.10 Overview of Lattice Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.11 Restriction to the Sylow Normalizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.12 Some Sn-Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
X Contents
3 Multiplicative Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 The Group Algebra of a G-Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Reduction to Finite Groups, ?? -structure, and Finite Generation . . . . 52
3.4 Units and Semigroup Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Multiplicative Invariants of Weight Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7 Passage to an Effective Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8 Twisted Multiplicative Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.9 Hopf Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.10 Torus Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Class Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Krull Domains and Class Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Samuel's Exact Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 Generalized Reflections on Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6 Proof of Theorem 4.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Picard Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Invertible Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 The Skew Group Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 The TraceMap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 The Kernel of the Map Pic(RG) Pic(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.6 The Case of Multiplicative Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Multiplicative Invariants of Reflection Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Proof of Theorem 6.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Computing the Ring of Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4 SAGBI Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7 Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.2 Projectivity over Invariants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.3 Linearization by the SliceMethod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.4 Proof of Theorem 7.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.5 Regularity at the Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8 The Cohen-Macaulay Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.2 Height and Grade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.3 Local Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.4 Cohen-Macaulay Modules and Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Contents XI
8.5 The Cohen-Macaulay Property for Invariant Rings . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.6 The Ellingsrud-Skjelbred Spectral Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.7 Annihilators of Cohomology Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.8 The Restriction Map for Cohen-Macaulay Invariants . . . . . . . . . . . . . 114
8.9 The Case of Multiplicative Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.10 Proof of Theorem 8.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.11 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9 Multiplicative Invariant Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2 Stable Isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.3 Retract Rationality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4 The No-name Lemma" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.5 Function Fields of Algebraic Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.6 Some Rationality Results for Multiplicative Invariant Fields . . . . . . . 138
9.7 Some Concepts fromAlgebraic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.8 The Field of Matrix Invariants as a Multiplicative Invariant Field . . . 142
10 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.1 The Cohen-Macaulay Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2 Semigroup Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.3 Computational Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.4 Essential Dimension Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.5 Rationality Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173"

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