1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Rating of Risks and Claims Experience in Insurance . . . . . . . . . 1
1.2 Mathematical Formulation of the Problem of Rating Risks . . . . 7
1.2.1 Individual Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 The Correct Individual Premium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 The Risk Rating Problem in the Collective . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Formulating the Rating Problem in the Language of
Bayesian Statistics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 The Bayes Premium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Basic Elements of Statistical Decision Theory . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Bayes Risk and Bayes Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Bayesian Statistics and the Premium Rating Problem . . . . . . . . 18
2.4 The Bayes Premium in Three Special Cases . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1 The Poisson—Gamma Case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 The Binomial—Beta Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.3 The Normal—Normal Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.4 Common Features of the Three Special Cases Considered 36
2.5 Conjugate Classes of Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.1 The Exponential Class and Their Associated
Conjugate Families . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.2 Construction of Conjugate Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Another Type of Example: the Pareto−Gamma Case . . . . . . . . 47
2.7 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Credibility Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1 Credibility Estimators in a Simple Context . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.1 The Credibility Premium in a Simple Credibility Model 56
3.1.2 A General Intuitive Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
XVI Contents
3.1.3 The Quadratic Loss of the Credibility Premium . . . . . . . 59
3.1.4 The Simple Bühlmann Model and the Homogeneous
Credibility Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Credibility Estimators in a General Set-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.1 Credibility Estimators as Orthogonal Projections in
the L2 Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Orthogonality Conditions and Normal Equations . . . . . . . . . . . . 71
3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 The Bühlmann—Straub Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Model Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 The Credibility Premium in the Bühlmann—Straub Model . . . . 81
4.4 Discussion and Interpretation of the Credibility Estimator . . . 84
4.5 Quadratic Loss of the Credibility Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6 The Homogeneous Credibility Estimator in the Bühlmann—
Straub Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.7 Quadratic Loss of the Homogeneous Credibility Estimator . . . . 91
4.8 Estimation of the Structural Parameters σ2 and τ 2 . . . . . . . . . . 93
4.9 Empirical Credibility Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.10 Credibility for Claim Frequencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.11 Credibility for Claim Sizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.12 Credibility for Risk Groups of Known Individual Contracts . . . 110
4.13 Modification for the Case of Known a Priori Differences . . . . . . 111
4.14 Example of Another Kind of Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.15 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5 Treatment of Large Claims in Credibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2 Semi-Linear Credibility with Truncation in the Simple
Bühlmann Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3 Semi-Linear Credibility with Truncation in a Model with
Weights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4 Further Methods for Treating Large Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6 Hierarchical Credibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2 The Hierarchical Credibility Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.3 Relevant Quantities and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.4 Credibility Estimator in the Hierarchical Model . . . . . . . . . . . . . 148
6.5 Quadratic Loss in the Hierarchical Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.6 Estimation of the Structural Parameters in the Hierarchical
Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Contents XVII
7 Multidimensional Credibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.2 The Abstract Multidimensional Credibility Model . . . . . . . . . . . 169
7.2.1 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.2.2 The (Inhomogeneous) Multidimensional Credibility
Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.2.3 The Homogeneous Credibility Estimator . . . . . . . . . . . . . 173
7.2.4 The Quadratic Loss of the Multidimensional
Credibility Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.3 The Multidimensional Bühlmann—Straub Model . . . . . . . . . . . . 177
7.3.1 Motivation and Interpretation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.3.2 Definition of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.3.3 Credibility Formulae in the Multidimensional
Bühlmann—Straub Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.3.4 Quadratic Loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.3.5 Estimation of Structural Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.4 General Remarks About Data Compression and Its
Optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.4.2 General Multidimensional Data Structure . . . . . . . . . . . . 187
7.4.3 Optimal Data Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8 Credibility in the Regression Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.2 The Classical Statistics Point of View . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3 The Regression Credibility Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.3.1 The Standard Regression Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.3.2 The General Regression Case (Hachemeister) . . . . . . . . . 205
8.3.3 Homogeneous Credibility Estimator and Quadratic Loss 208
8.4 The Simple Linear Regression Case (Linear Trend Model) . . . . 208
8.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9 Evolutionary Credibility Models and Recursive Calculation 219
9.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.2 Recursive Credibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.3 Evolutionary Credibility Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.4 Evolutionary Models and Recursive Credibility . . . . . . . . . . . . . . 226
9.5 Recursive Calculation Method (Kalman Filter) . . . . . . . . . . . . . . 230
9.6 The Evolutionary Credibility Regression Model. . . . . . . . . . . . . . 238
9.7 Recursive Calculation in the Evolutionary Regression Model . . 239
XVIII Contents
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.2 On the Embedding of the Individual Risk in a Collective . . . . . 252
10.3 Multidimensional Evolutionary Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10.4 Modelling a Collective with Both Joint and Individual
Movements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.5 Multidimensional Evolutionary Regression Models . . . . . . . . . . . 262
10.6 Decomposition into an Individual and a Common Component . 264
A Appendix A:
Basic Elements from Probability Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
A.1 Random Variables, Distribution Functions and Moments . . . . . 275
A.2 Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
A.3 Multidimensional Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
A.4 Conditional Probability and Conditional Expectation . . . . . . . . 278
A.5 Two Useful Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
B Appendix B:
The Hilbert Space L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
C Appendix C:
Solutions to the Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
C.1 Exercises to Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
C.2 Exercises to Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
C.3 Exercises to Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
C.4 Exercises to Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
C.5 Exercises to Chapter 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
C.6 Exercises to Chapter 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
C.7 Exercises to Chapter 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
10 Multidimensional Evolutionary Models and Recursive
Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251