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Computing in Algebraic Geometry: A Quick Start Using SINGULAR

Publisher: 
Springer Verlag
Number of Pages: 
327
Price: 
49.95
ISBN: 
3540289925
Date Received: 
Wednesday, April 19, 2006
Reviewable: 
No
Include In BLL Rating: 
No
Reviewer Email Address: 
Wolfram Decker and Christoph Lossen
Series: 
Algorithms and Computation in Mathematics 16
Publication Date: 
2006
Format: 
Hardcover
Category: 
Monograph

Introductory Remarks on Computer Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Basic Notations and Ideas: A Historical Account . . . . . . . . . . 11

2 Basic Computational Problems and Their Solution . . . . . . . . 37

2.1 The Geometry-Algebra Dictionary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Basic Applications of Grobner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 An Introduction to SINGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1 General Remarks on SINGULAR and its Syntax . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 Rings in SINGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2.1 Global Monomial Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.2 Creating Ring Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3 Ideals, Vectors and Modules in SINGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.4 Handling Graded Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.5 Computing Grobner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.6 Basic Applications of Grobner Bases (revisited) . . . . . . . . . . . . . 87

3.6.1 Ideal Membership Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.6.2 Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.6.3 Kernel of a Ring Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.6.4 Test for Subalgebra Membership . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.6.5 Test for Surjectivity of a Ring Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.6.6 Syzygies and Free Resolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.7 Grobner Bases over Noncommutative Algebras . . . . . . . . . . . . . . 103

3.8 Writing SINGULAR Procedures and Libraries . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.9 Communication with Other Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.10 Visualization: Plotting Curves and Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Practical Session I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Practical Session II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

XIV Contents

4 Homological Algebra I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.1 Lifting Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.2 Constructive Module Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.2.1 Cokernels and Mapping Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.2.2 Modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.2.3 Kernel, Hom, Ext, Tor, and more . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.2.4 Some Explicit Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5 Homological Algebra II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.1 Flatness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2 Depth and Codimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.3 Cohen-Macaulay Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Practical Session III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6 Solving Systems of Polynomial Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.1 Grobner Basis Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.1.1 Computing Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.1.2 Zero-Dimensional Solving by Elimination . . . . . . . . . . . . . 172

6.1.3 Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.2 Resultant Based Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.2.1 The Sylvester Resultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.2.2 Multipolynomial Resultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.2.3 Zero-Dimensional Solving via Resultants . . . . . . . . . . . . . 190

7 Primary Decomposition and Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.1 Primary Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.2 Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Practical Session IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8 Algorithms for Invariant Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.1 Finite Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

8.1.1 The Nonmodular Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

8.1.2 The Modular Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8.1.3 Quotients for Finite Group Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

8.2 Linearly Reductive Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

9 Computing in Local Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

9.1 Rings Implemented by Monomial Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

9.2 Standard Bases and their Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

9.3 Factorization and Primary Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9.4 Computing Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.5 Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

9.6 Hamburger-Noether Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Contents XV

Practical Session V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Appendix A Sheaf Cohomology and Beilinson Monads . . . . . . . 273

Appendix B Solutions to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

Publish Book: 
Modify Date: 
Monday, July 3, 2006

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