Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
1. Rings and Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Definitions and Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Subrings, Ideals and Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 The Field of Fractions of an Integral Domain . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 The Characteristic of a Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 A Reminder of Some Group Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Integral Domains and Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Euclidean Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Unique Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Irreducible Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3. Field Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 The Degree of an Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Extensions and Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Polynomials and Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4. Applications to Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1 Ruler and Compasses Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 An Algebraic Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5. Splitting Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
x Contents
6. Finite Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7. The Galois Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.1 Monomorphisms between Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 Automorphisms, Groups and Subfields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3 Normal Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4 Separable Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.5 The Galois Correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.6 The Fundamental Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.7 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8. Equations and Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1 Quadratics, Cubics and Quartics: Solution by Radicals . . . . . . . . 127
8.2 Cyclotomic Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3 Cyclic Extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9. Some Group Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.1 Abelian Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.2 Sylow Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.3 Permutation Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.4 Properties of Soluble Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10. Groups and Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.1 Insoluble Quintics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.2 General Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.3 Where Next? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11. Regular Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
11.1 Preliminaries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
11.2 The Construction of Regular Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
12. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223