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Linear Algebraic Monoids (Invariant Theory and Algebraic Transformation Groups V)

Publisher: 
Springer Verlag
Number of Pages: 
246
Price: 
109.00
ISBN: 
3-540-24241-4
Date Received: 
Sunday, May 1, 2005
Reviewable: 
Include In BLL Rating: 
Reviewer Email Address: 
Lex E. Renner
Series: 
Encyclopedia of Mathematical Sciences 134
Publication Date: 
2005
Format: 
Hardcover
Category: 
Monograph
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Algebraic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Affine Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Dimension Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Divisor Class Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Algebraic Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Algebraic Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Root Systems, Weyl Groups and Dynkin Diagrams . . . . 15
2.2.3 Tits System and Bruhat Decomposition . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.4 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.5 The Class Group of a Reductive Group . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.6 Actions, Orbits, Invariants and Quotients . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.7 Cellular Decompositions of Algebraic Varieties . . . . . . . . 25
2.3 Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Basic Semigroup Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Strongly -regular Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3 Special Types of Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 Abstract Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Algebraic Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 Linear Algebraic Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Normal Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 D-monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Solvable Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Excercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.1 Linear Algebraic Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.2 Linear Algebraic Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
X Contents
3.5.3 Irreducible Algebraic Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Regularity Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1 Reductive Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Semigroup Structure of Reductive Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.1 The Type Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Solvable Regular Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Regular Algebraic Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Regularity in Codimension One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.6.1 D-monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.6.2 Regular and Reductive monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.6.3 Regularity in Codimension One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Classification of Reductive Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1 The Extension Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Vinberg's Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Algebraic Monoids as Spherical Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.1 Spherical Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.2 Rittatore's Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.3 Type Maps and Colors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Universal Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1 Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Class Groups of Reductive Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3 Flat Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4 Multilined Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.5 Normalization and Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.6.1 Flat Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7 Orbit Structure of Reductive Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.1 The System of Idempotents and the Type Map . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 The Cross Section Lattice and the Weyl Chamber . . . . . . . . . . . 93
7.3 J-irreducible Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.4 Explicit Calculations of the Type Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.4.1 The Type Map for the Adjoint Representations . . . . . . . 99
7.4.2 Further Examples of the Type Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.5 2-reducible Reductive Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.5.1 Reductive Monoids and Type Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.5.2 The Type Map of a 2-reducible Monoid . . . . . . . . . . . . . . 110
7.5.3 Calculating the Type Map Geometrically . . . . . . . . . . . . . 114
7.5.4 Monoids with I+ = \{
} and I- = \{ } . . . . . . . . . . 117
7.5.5 Monoids with I+ = and I- = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.5.6 (J, )-irreducible Monoids Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Contents XI
7.6 Type Maps in General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.7.1 The Cross Section Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.7.2 Idempotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8 The Analogue of the Bruhat Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1 The Renner Monoid R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2 The Analogue of the Tits System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.3 Row Reduced Echelon Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.4 The Length Function on R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.5 Order-Preserving Elements of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.6 The Adherence Order on R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.7 The j-order, R+ and Pennell's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.8 The Adherence Order on Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9 Representations and Blocks of Algebraic Monoids . . . . . . . . . 153
9.1 Conjugacy Classes and Adjoint Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.2 Rep(M) according to Doty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.3 The Blocks of Mn(K) when char(K) = p > 0 . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.4 The Blocks of Solvable Algebraic Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10 Monoids of Lie Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.1 Finite Groups of Lie Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.1.1 Preserves Root Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.1.2 Exchanges Root Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.2 Endomorphisms of Linear Algebraic Monoids . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.3 A Detailed Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.4 Abstract Monoids of Lie Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.5 Modular Representations of Finite Reductive Monoids . . . . . . . 175
10.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.6.1 Weil Zeta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.6.2 Counting Modular Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
11 Cellular Decomposition of Algebraic Monoids . . . . . . . . . . . . . . 187
11.1 Monoid Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
12 Conjugacy Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.1 The Basic Conjugacy Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.2 Some Refinements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12.3 Putcha's Decomposition and the Nilpotent Variety . . . . . . . . . . . 199
XII Contents
13 The Centralizer of a Semisimple Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
13.2 Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
13.3 The Structure of Rs and Ms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
13.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
14 Combinatorics Related to Algebraic Monoids . . . . . . . . . . . . . . 213
14.1 The Adherence Order on WeW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
14.2 Shellability and Stanley-Reisner Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
14.3 Distribution of Products in Finite Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
14.3.1 Properties of h(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
14.3.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
14.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
15 Survey of Related Developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
15.1 Complex Representation of Finite Reductive Monoids . . . . . . . . 227
15.2 Finite Semigroups and Highest Weight Categories . . . . . . . . . . . 228
15.3 Singularities of G-embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
15.4 Cohomology of G-embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
15.5 Horospherical Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
15.6 Monoids associated with Kac-Moody Groups . . . . . . . . . . . . . . . . 232
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Publish Book: 
Modify Date: 
Monday, August 15, 2005

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