Preface ix
1 Translation Groups 1
1.1 Real inner product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Isomorphic, non-isomorphic spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Inequality of Cauchy–Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Orthogonal mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 A characterization of orthogonal mappings . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Translation groups, axis, kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Separable translation groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Geometry of a group of permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 Euclidean, hyperbolic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.11 A common characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.12 Other directions, a counterexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Euclidean and Hyperbolic Geometry 37
2.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 The lines of L.M. Blumenthal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 The lines of KarlMenger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Another definition of lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Balls, hyperplanes, subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 A special quasi-hyperplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7 Orthogonality, equidistant surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8 A parametric representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.9 Ends, parallelity, measures of angles . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.10 Angles of parallelism, horocycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.11 Geometrical subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.12 The Cayley–Kleinmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.13 Hyperplanes under translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.14 Lines under translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.15 Hyperbolic coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
vi Contents
2.16 All isometries of (X, eucl), (X, hyp) . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.17 Isometries preserving a direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.18 A characterization of translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.19 Different representations of isometries . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.20 A characterization of isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.21 A counterexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.22 An extension problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.23 Amapping which cannot be extended . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3 Sphere Geometries of M¨obius and Lie 93
3.1 M¨obius balls, inversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2 An application to integral equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3 A fundamental theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4 Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.6 M¨obius circles, MN- and MN-spheres . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.7 Stereographic projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.8 Poincar´e’s model of hyperbolic geometry . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.9 Spears, Laguerre cycles, contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.10 Separation, cyclographic projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.11 Pencils and bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.12 Lie cycles, groups Lie (X), Lag (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.13 Lie cycle coordinates, Lie quadric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.14 Lorentz boosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.15 M(X) as part of Lie (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.16 A characterization of Lag (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.17 Characterization of the Lorentz group . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.18 Another fundamental theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4 Lorentz Transformations 175
4.1 Two characterization theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.2 Causal automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.3 Relativistic addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.4 Lightlike, timelike, spacelike lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.5 Light cones, lightlike hyperplanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.6 Characterization of some hyperplanes . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.7 L(Z) as subgroup of Lie (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.8 A characterization of LM-distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.9 Einstein’s cylindrical world . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.10 Lines, null-lines, subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.11 2-point invariants of C (Z), MC(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.12 De Sitter’s world . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.13 2-point invariants of Σ(Z), MΣ(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.14 Elliptic and spherical distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Contents vii
4.15 Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.16 Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.17 Distance functions of X0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.18 Subspaces, balls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.19 Periodic lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.20 Hyperbolic geometry revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
A Notations and symbols 231
B Bibliography 233
C Index 239